Wstęp do funkcji

📜 Notatki do lekcji – Wstęp do funkcji (Matura)

1) Definicja, zapis i interpretacje

• Funkcja to przyporządkowanie każdemu x z dziedziny D dokładnie jednej wartości f(x).
• Zapis: f : D → ℝ (czasem do innego zbioru niż ℝ).
• Argument = wejście (x), wartość = wyjście (f(x)).
• Miejsca zerowe: rozwiązania równania f(x)=0. Przecięcie z OY: (0, f(0)), jeśli 0 ∈ D.
• Opis funkcji na maturze: wzór, tabela, wykres, opis słowny, fragmentami (funkcja odcinkami).

Uwaga (matura): jeżeli polecenie brzmi „wyznacz dziedzinę/zbiór wartości”, podaj dokładny zapis przedziałów i sprawdź jednostki/ograniczenia z treści zadania.

2) Dziedzina i zbiór wartości (pewniaki maturalne)

Jak wyznaczać dziedzinę?

• Ułamki: mianownik ≠ 0, np. 1/(x−2) ⇒ D = ℝ \ {2}.
• Pierwiastki parzyste: wyrażenie pod √ ≥ 0, np. √(5−2x) ⇒ 5−2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5/2.
• Logarytmy/wykładnicze: logarytmowany > 0; podstawa > 0, ≠ 1.
• Składanie funkcji: najpierw dziedzina wewnętrznej, potem warunek „wynik pasuje do zewnętrznej”.

Jak opisać zbiór wartości?

• Kwadratowa ax²+bx+c: znajdź wierzchołek i kierunek ramion ⇒ min/max.
• |x|, √x: wykres pomaga szybko ustalić ograniczenia.
• Dla prostych przesunięć: na wykresie widać, co dzieje się z najmniejszą/największą wartością.

Przykład (matura, prosty): Dla f(x)=√(2x−4) mamy 2x−4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. D = [2, +∞). Ponieważ √ ≥ 0, W(f) = [0, +∞).

3) Najczęstsze typy w arkuszu

Liniowa

f(x)=ax+b. Jednostajnie rosnąca (a>0) / malejąca (a<0). Zera: x=−b/a (jeśli a≠0).

Kwadratowa

f(x)=ax²+bx+c. Wierzchołek: (−b/2a, Δ/4a), Δ=b²−4ac. Ramiona w górę (a>0) / w dół (a<0).

Wartość bezwzględna

f(x)=|g(x)|. Odbicie części ujemnej wykresu g(x) względem OX; często rozpisujemy przypadki.

Odwrotna/wykładnicza/sqrt

1/x (asymptoty), a^x (monotonia zależnie od a), √x (D: [0,∞)).

Funkcja „odcinkami”

Inny wzór na różne przedziały. Na maturze: sprawdź ciągłość i wartości na końcach przedziałów.

Złożenie, odwrotność

(f∘g)(x)=f(g(x)). Funkcja odwrotna: zamień x↔y i rozwiąż dla y; pamiętaj o jednoznaczności i dziedzinie.

4) Przekształcenia wykresów — schematy „na szybko”

• f(x)+k — w górę o k; f(x)−k — w dół o k.
• f(x−p) — w prawo o p; f(x+p) — w lewo o p.
• a·f(x) — skala pionowa (|a|>1 rozciąga, 0<|a|<1 ściska).
• f(ax) — skala pozioma odwrotnie (|a|>1 ściska, 0<|a|<1 rozciąga).
• −f(x) odbicie względem OX; f(−x) odbicie względem OY.

Przykład: z y=x² otrzymaj y=(x−3)²+2: przesunięcie o 3 w prawo i 2 w górę. f(3)=2.

Uwaga: najpierw „wewnątrz x” (poziomo), potem „na zewnątrz” (pionowo).

5) Własności: parzystość, monotoniczność, ekstrema

Parzystość

Parzysta: f(−x)=f(x) (np. x²). Nieparzysta: f(−x)=−f(x) (np. x³). „Ani–ani” – większość.

Monotoniczność

Liniowa: znak a decyduje. Kwadratowa: rośnie/maleje względem wierzchołka. |x|: maleje na (−∞,0], rośnie na [0,∞).

Ekstrema

Kwadratowa: min/max w wierzchołku. W zadaniach „odczytaj z wykresu” — sprawdź końce przedziałów i punkty krytyczne.

6) Równania i nierówności z funkcjami

Równości

• f(x)=g(x) — zrównaj wzory i rozwiąż (pamiętając o dziedzinach!).
• |h(x)|=a ⇒ h(x)=a lub h(x)=−a.
• Punkty wspólne wykresów to rozwiązania układu y=f(x), y=g(x).

Nierówności

• |h(x)|≥a ⇒ h(x)≤−a lub h(x)≥a; |h(x)|≤a ⇒ −a ≤ h(x) ≤ a (a≥0).
• Analiza znaków z tabelką wartości/wykresu — bardzo szybka na maturze.

Przykład: |2x−5| ≥ 3 ⇒ 2x−5 ≥ 3 lub 2x−5 ≤ −3 ⇒ x ≥ 4 lub x ≤ 1.

7) Złożenie (f∘g) i funkcja odwrotna

• (f∘g)(x)=f(g(x)) — najpierw g, potem f. Dziedzina: te x, dla których g(x) ∈ D(f) i x ∈ D(g).
• f⁻¹ istnieje, gdy f jest różnowartościowa (np. monotoniczna na rozpatrywanym przedziale).
• Konstrukcja f⁻¹: zamień x↔y, rozwiąż dla y, dopisz nową dziedzinę z warunków.

Tip (matura): w zadaniach z kontekstem (np. czas, prędkość), upewnij się, że jednostki i ograniczenia fizyczne nie zawężają dziedziny.

8) Pułapki egzaminacyjne (checklista)

☐ Sprawdziłem dziedzinę każdego pośredniego kroku (mianownik, √, log).
☐ Zapisałem wynik w postaci przedziałów (np. (−∞,1] ∪ [4,∞)).
☐ Dla kwadratowej podałem wierzchołek i wykorzystałem go do W(f).

☐ Przy | | rozważyłem oba przypadki i połączyłem rozwiązania.
☐ Gdy proszą o liczbę rozwiązań, sprawdziłem przecięcia wykresów (rysunek!).
☐ W złożeniach (f∘g) sprawdziłem oba warunki dziedzinowe.

Matematyka rozszerzona

Wstęp do funkcji

📹 Lekcja wideo

📜 Notatki do lekcji – Wstęp do funkcji (Matura)

1) Definicja, zapis i interpretacje

2) Dziedzina i zbiór wartości (pewniaki maturalne)

Jak wyznaczać dziedzinę?

Jak opisać zbiór wartości?

3) Najczęstsze typy w arkuszu

Liniowa

Kwadratowa

Wartość bezwzględna

Odwrotna/wykładnicza/sqrt

Funkcja „odcinkami”

Złożenie, odwrotność

4) Przekształcenia wykresów — schematy „na szybko”

5) Własności: parzystość, monotoniczność, ekstrema

Parzystość

Monotoniczność

Ekstrema

6) Równania i nierówności z funkcjami

Równości

Nierówności

7) Złożenie (f∘g) i funkcja odwrotna

8) Pułapki egzaminacyjne (checklista)

🎯 Zadania interaktywne – Wstęp do funkcji

1) Dla f(x)=2x−3 oblicz f(4).

2) Rozwiąż równanie: 3x − 7 = 11.

3) Zaznacz wszystkie prawdziwe stwierdzenia o funkcji f(x)=|x|.

4) Dopasuj typ funkcji do wzoru.

5) Podaj miejsca zerowe funkcji f(x)=x²−5x+6.

6) Niech g(x)=x−1, f(x)=x². Oblicz (f∘g)(3).

7) Dla f(x)=3x+a punkt przecięcia z OY ma współrzędną 5. Wyznacz a.

8) Rozwiąż: |2x−5| ≥ 3.

9) Dziedzina funkcji f(x)=√(5−2x) to:

10) Wykres y=x² przesunięto w prawo o 3 i w górę o 2. Podaj wartość f(3) nowej funkcji.

11) Wybierz poprawnie: f(x)=x³ jest funkcją…

12) Dla g(x)=√(x−1), f(x)=2x+1. Oblicz (f∘g)(5) i podaj dziedzinę (f∘g).