Wstęp do funkcji

BETA

Ten układ i zadania są w wersji testowej. Wkrótce pełny kurs będzie zawierał je w dopracowanej formie.

Wstęp do funkcji – Matematyka (Matura)

Wstęp do funkcji

Podstawy pod maturę: definicja, dziedzina, własności, przekształcenia, złożenia

📹 Lekcja wideo

Otwórz notatki (PDF)

📜 Notatki do lekcji – Wstęp do funkcji (Matura)

1) Definicja, zapis i interpretacje

  • Funkcja to przyporządkowanie każdemu x z dziedziny D dokładnie jednej wartości f(x).
  • • Zapis: f : D → ℝ (czasem do innego zbioru niż ℝ).
  • Argument = wejście (x), wartość = wyjście (f(x)).
  • Miejsca zerowe: rozwiązania równania f(x)=0. Przecięcie z OY: (0, f(0)), jeśli 0 ∈ D.
  • Opis funkcji na maturze: wzór, tabela, wykres, opis słowny, fragmentami (funkcja odcinkami).

Uwaga (matura): jeżeli polecenie brzmi „wyznacz dziedzinę/zbiór wartości”, podaj dokładny zapis przedziałów i sprawdź jednostki/ograniczenia z treści zadania.

2) Dziedzina i zbiór wartości (pewniaki maturalne)

Jak wyznaczać dziedzinę?

  • Ułamki: mianownik ≠ 0, np. 1/(x−2) ⇒ D = ℝ \ {2}.
  • Pierwiastki parzyste: wyrażenie pod √ ≥ 0, np. √(5−2x) ⇒ 5−2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5/2.
  • Logarytmy/wykładnicze: logarytmowany > 0; podstawa > 0, ≠ 1.
  • Składanie funkcji: najpierw dziedzina wewnętrznej, potem warunek „wynik pasuje do zewnętrznej”.

Jak opisać zbiór wartości?

  • Kwadratowa ax²+bx+c: znajdź wierzchołek i kierunek ramion ⇒ min/max.
  • |x|, √x: wykres pomaga szybko ustalić ograniczenia.
  • • Dla prostych przesunięć: na wykresie widać, co dzieje się z najmniejszą/największą wartością.
Przykład (matura, prosty): Dla f(x)=√(2x−4) mamy 2x−4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. D = [2, +∞). Ponieważ √ ≥ 0, W(f) = [0, +∞).

3) Najczęstsze typy w arkuszu

Liniowa

f(x)=ax+b. Jednostajnie rosnąca (a>0) / malejąca (a<0). Zera: x=−b/a (jeśli a≠0).

Kwadratowa

f(x)=ax²+bx+c. Wierzchołek: (−b/2a, Δ/4a), Δ=b²−4ac. Ramiona w górę (a>0) / w dół (a<0).

Wartość bezwzględna

f(x)=|g(x)|. Odbicie części ujemnej wykresu g(x) względem OX; często rozpisujemy przypadki.

Odwrotna/wykładnicza/sqrt

1/x (asymptoty), a^x (monotonia zależnie od a), √x (D: [0,∞)).

Funkcja „odcinkami”

Inny wzór na różne przedziały. Na maturze: sprawdź ciągłość i wartości na końcach przedziałów.

Złożenie, odwrotność

(f∘g)(x)=f(g(x)). Funkcja odwrotna: zamień x↔y i rozwiąż dla y; pamiętaj o jednoznaczności i dziedzinie.

4) Przekształcenia wykresów — schematy „na szybko”

  • f(x)+k — w górę o k; f(x)−k — w dół o k.
  • f(x−p) — w prawo o p; f(x+p) — w lewo o p.
  • a·f(x) — skala pionowa (|a|>1 rozciąga, 0<|a|<1 ściska).
  • f(ax) — skala pozioma odwrotnie (|a|>1 ściska, 0<|a|<1 rozciąga).
  • −f(x) odbicie względem OX; f(−x) odbicie względem OY.

Przykład: z y=x² otrzymaj y=(x−3)²+2: przesunięcie o 3 w prawo i 2 w górę. f(3)=2.

Uwaga: najpierw „wewnątrz x” (poziomo), potem „na zewnątrz” (pionowo).

5) Własności: parzystość, monotoniczność, ekstrema

Parzystość

Parzysta: f(−x)=f(x) (np. x²). Nieparzysta: f(−x)=−f(x) (np. x³). „Ani–ani” – większość.

Monotoniczność

Liniowa: znak a decyduje. Kwadratowa: rośnie/maleje względem wierzchołka. |x|: maleje na (−∞,0], rośnie na [0,∞).

Ekstrema

Kwadratowa: min/max w wierzchołku. W zadaniach „odczytaj z wykresu” — sprawdź końce przedziałów i punkty krytyczne.

6) Równania i nierówności z funkcjami

Równości

  • f(x)=g(x) — zrównaj wzory i rozwiąż (pamiętając o dziedzinach!).
  • |h(x)|=a ⇒ h(x)=a lub h(x)=−a.
  • Punkty wspólne wykresów to rozwiązania układu y=f(x), y=g(x).

Nierówności

  • |h(x)|≥a ⇒ h(x)≤−a lub h(x)≥a; |h(x)|≤a ⇒ −a ≤ h(x) ≤ a (a≥0).
  • • Analiza znaków z tabelką wartości/wykresu — bardzo szybka na maturze.
Przykład: |2x−5| ≥ 3 ⇒ 2x−5 ≥ 3 lub 2x−5 ≤ −3 ⇒ x ≥ 4 lub x ≤ 1.

7) Złożenie (f∘g) i funkcja odwrotna

  • (f∘g)(x)=f(g(x)) — najpierw g, potem f. Dziedzina: te x, dla których g(x) ∈ D(f) i x ∈ D(g).
  • f⁻¹ istnieje, gdy f jest różnowartościowa (np. monotoniczna na rozpatrywanym przedziale).
  • • Konstrukcja f⁻¹: zamień x↔y, rozwiąż dla y, dopisz nową dziedzinę z warunków.

Tip (matura): w zadaniach z kontekstem (np. czas, prędkość), upewnij się, że jednostki i ograniczenia fizyczne nie zawężają dziedziny.

8) Pułapki egzaminacyjne (checklista)

  • ☐ Sprawdziłem dziedzinę każdego pośredniego kroku (mianownik, √, log).
  • ☐ Zapisałem wynik w postaci przedziałów (np. (−∞,1] ∪ [4,∞)).
  • ☐ Dla kwadratowej podałem wierzchołek i wykorzystałem go do W(f).
  • ☐ Przy | | rozważyłem oba przypadki i połączyłem rozwiązania.
  • ☐ Gdy proszą o liczbę rozwiązań, sprawdziłem przecięcia wykresów (rysunek!).
  • ☐ W złożeniach (f∘g) sprawdziłem oba warunki dziedzinowe.