Następny quiz

Reguły mnożenia i dodawania

Matematyka podstawowa Wypróbuj za darmo! Reguły mnożenia i dodawania

Reguły mnożenia i dodawania – Prawdopodobieństwo

Reguły mnożenia i dodawania

Poznaj fundamentalne reguły prawdopodobieństwa i naucz się je stosować w praktyce

Materiały do prawdopodobieństwa

Kompletny przewodnik PDF • 3.2 MB

Podstawowe pojęcia

🎲 Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to liczba z przedziału [0, 1], która określa szansę wystąpienia zdarzenia.

P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich możliwych zdarzeń

💡 Ważne właściwości:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(∅) = 0 (zdarzenie niemożliwe)
• P(Ω) = 1 (zdarzenie pewne)
• P(A’) = 1 – P(A) (zdarzenie przeciwne)

Przykład – rzut kostką:

Przestrzeń zdarzeń:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(wypadnie 3):

P(A) = 1/6 ≈ 0,167

P(liczba parzysta):

P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5

➕ Reguła dodawania

Zdarzenia rozłączne

Zdarzenia A i B są rozłączne, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie: A ∩ B = ∅

Wzór:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Przykład – rzut kostką:

A = {wypadnie 2}

B = {wypadnie 5}

P(A) = 1/6, P(B) = 1/6

P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Zdarzenia nierozłączne

Zdarzenia A i B są nierozłączne, jeśli mogą wystąpić jednocześnie: A ∩ B ≠ ∅

Wzór ogólny:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Przykład – rzut kostką:

A = {liczba parzysta} = {2,4,6}

B = {liczba ≥ 4} = {4,5,6}

A ∩ B = {4,6}

P(A) = 3/6, P(B) = 3/6, P(A∩B) = 2/6

P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

Diagram Venna – zdarzenia nierozłączne

✖️ Reguła mnożenia

Zdarzenia niezależne

Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli wystąpienie jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego.

Wzór:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Przykład – dwa rzuty kostką:

A = {pierwsza kostka: 6}

B = {druga kostka: 6}

P(A) = 1/6, P(B) = 1/6

P(A ∩ B) = 1/6 × 1/6 = 1/36

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B.

Wzór:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Wzór ogólny mnożenia:

P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)

Przykład – karty:

Ciągniemy 2 karty bez zwracania

A = {pierwsza karta: as}

B = {druga karta: as}

P(A) = 4/52 = 1/13

P(B|A) = 3/51 = 1/17

P(A ∩ B) = 1/13 × 1/17 = 1/221

Porównanie reguł

Typ zdarzeń	Reguła dodawania	Reguła mnożenia
Rozłączne	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	Nie dotyczy
Nierozłączne	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)	–
Niezależne	–	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Zależne	–	P(A ∩ B) = P(A\|B) × P(B)

🎯 Przykłady praktyczne

Przykład 1: Rzut dwiema kostkami

Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 7 lub 11?

Rozwiązanie:

A = {suma = 7} = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

B = {suma = 11} = {(5,6), (6,5)}

P(A) = 6/36 = 1/6

P(B) = 2/36 = 1/18

P(A ∪ B) = 1/6 + 1/18 = 4/18 = 2/9

Przykład 2: Ciągnienie kart

Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch asów pod rząd (bez zwracania)?

Rozwiązanie:

A = {pierwszy as}

B = {drugi as | pierwszy był asem}

P(A) = 4/52 = 1/13

P(B|A) = 3/51 = 1/17

P(A ∩ B) = 1/13 × 1/17 = 1/221

MATURA

Ćwiczenie 1: Dopasuj reguły

Przeciągnij wzory do odpowiednich sytuacji:

Wzory do przeciągnięcia:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)

Sytuacje:

Zdarzenia rozłączne

A ∩ B = ∅

Zdarzenia nierozłączne

A ∩ B ≠ ∅

Zdarzenia niezależne

P(A|B) = P(A)

Zdarzenia zależne

P(A|B) ≠ P(A)

MATURA

Ćwiczenie 2: Kalkulator prawdopodobieństwa

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

Suma oczek wyniesie 8 LUB 12

A = {suma = 8}: przypadków

B = {suma = 12}: przypadków

P(A ∪ B) =

Obie kostki pokażą liczbę parzystą

P(pierwsza parzysta) =

P(druga parzysta) =

P(obie parzyste) =

Wszystkie możliwe wyniki (36 przypadków):

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

MATURA

Ćwiczenie 3: Symulator ciągnienia kart

Scenariusz:

Z talii 52 kart ciągniemy 2 karty bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone?

Krok 1: P(pierwsza czerwona)

Krok 2: P(druga czerwona | pierwsza była czerwona)

Krok 3: P(obie czerwone)

Wizualizacja talii:

♥ Kier
13 kart

♦ Karo
13 kart

♠ Pik
13 kart

♣ Trefl
13 kart

Czerwone: 26 kart

Czarne: 26 kart

Razem: 52 karty

💡 Wskazówka:

Po wyciągnięciu pierwszej czerwonej karty zostaje 51 kart, z czego 25 to czerwone karty.

MATURA

Ćwiczenie 4: Drzewo prawdopodobieństwa

W urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Ciągniemy 2 kule bez zwracania.

Uzupełnij prawdopodobieństwa w drzewie:

Uzupełnij prawdopodobieństwa:

P(B₁) =

P(C₁) =

P(B₂|B₁) =

P(C₂|B₁) =

P(B₂|C₁) =

P(C₂|C₁) =

Informacje:

• Urna: 3 kule białe + 2 kule czarne = 5 kul
• Ciągniemy bez zwracania
• Po pierwszym ciągnięciu zostaje 4 kule
• B = kula biała, C = kula czarna

Quizy

Quiz: Reguły mnożenia i dodawania

Poprzedni quiz

Powrót do rozdziału

Następny quiz