Następny quiz

Wstęp do funkcji

Matematyka podstawowa Wypróbuj za darmo! Wstęp do funkcji

Wstęp do funkcji – Matematyka

Wstęp do funkcji

Poznaj podstawy funkcji matematycznych przez interaktywne ćwiczenia i przygotuj się do matury

📹 Wideo

15:30

Materiały do funkcji

Kompletny przewodnik PDF • 2.1 MB

Pobierz

Czym jest funkcja?

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X (dziedzina) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (przeciwdziedzina).

Oznaczenie:

f: X → Y

y = f(x)

💡 Ważne!

Każdemu argumentowi x odpowiada dokładnie jedna wartość f(x). To oznacza, że pionowa linia może przeciąć wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.

Przykład funkcji liniowej:

f(x) = 2x + 1

Dla x = 1: f(1) = 2(1) + 1 = 3

Dla x = 2: f(2) = 2(2) + 1 = 5

Dla x = 3: f(3) = 2(3) + 1 = 7

Wykres tej funkcji to prosta o współczynniku kierunkowym 2 i wyrazie wolnym 1.

Podstawowe pojęcia

🎯 Dziedzina (D)

Zbiór wszystkich wartości x, dla których funkcja jest określona.

Przykład:
f(x) = √x
D = [0, +∞)

📊 Zbiór wartości (ZW)

Zbiór wszystkich możliwych wartości y = f(x).

Przykład:
f(x) = x²
ZW = [0, +∞)

🎪 Miejsca zerowe

Wartości x, dla których f(x) = 0.

Przykład:
f(x) = x – 3
Miejsce zerowe: x = 3

Podstawowe rodzaje funkcji

📈 Funkcja liniowa

f(x) = ax + b

a – współczynnik kierunkowy (nachylenie)
b – wyraz wolny (przecięcie z osią Y)
Dziedzina: ℝ (wszystkie liczby rzeczywiste)
Wykres: prosta

Przykłady:

f(x) = 2x + 3 (a > 0, funkcja rosnąca)

f(x) = -x + 1 (a < 0, funkcja malejąca)

f(x) = 5 (a = 0, funkcja stała)

📊 Funkcja kwadratowa

f(x) = ax² + bx + c

a ≠ 0 – współczynnik przy x²
Dziedzina: ℝ
Wykres: parabola
Wierzchołek: x = -b/(2a)

Właściwości:

• a > 0: parabola “do góry”, minimum

• a < 0: parabola "do dołu", maksimum

• Δ = b² – 4ac (wyróżnik)

• Δ > 0: dwa miejsca zerowe

🚀 Funkcja wykładnicza

f(x) = aˣ

a > 0, a ≠ 1 – podstawa
Dziedzina: ℝ
Zbiór wartości: (0, +∞)
f(0) = 1 dla każdego a

Przykłady:

f(x) = 2ˣ (wzrost wykładniczy)

f(x) = (1/2)ˣ (spadek wykładniczy)

f(x) = eˣ (funkcja naturalna)

Właściwości funkcji

📈 Monotoniczność

Funkcja rosnąca

Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂)

Wykres “idzie w górę” od lewej do prawej

Funkcja malejąca

Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂)

Wykres “idzie w dół” od lewej do prawej

🔄 Parzystość

Funkcja parzysta

f(-x) = f(x)

Wykres symetryczny względem osi Y

Przykład: f(x) = x²

Funkcja nieparzysta

f(-x) = -f(x)

Wykres symetryczny względem początku układu

Przykład: f(x) = x³

Przekształcenia funkcji

Jeśli mamy funkcję f(x), możemy ją przekształcać na różne sposoby:

Przesunięcia pionowe:

f(x) + a – w górę o a
f(x) – a – w dół o a

Przesunięcia poziome:

f(x – a) – w prawo o a
f(x + a) – w lewo o a

Rozciąganie/ściskanie:

a·f(x) – pionowe (a > 1: rozciąga)
f(a·x) – poziome (a > 1: ściska)

Odbicia:

-f(x) – względem osi X
f(-x) – względem osi Y

Ćwiczenia podstawowe

Ćwiczenie 1: Oblicz wartość funkcji

Dla funkcji f(x) = 3x – 2, oblicz f(4):

Ćwiczenie 2: Znajdź dziedzinę

Jaka jest dziedzina funkcji f(x) = √(x – 3)?

MATURA

Zadanie 3: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x² – 5x + 6. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.

MATURA

Zadanie 4: Wierzchołek paraboli

Funkcja kwadratowa f(x) = x² – 4x + 1. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.

MATURA

Zadanie 5: Dziedzina funkcji

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = √(x – 2) + 1/(x – 3).

MATURA

Zadanie 6: Funkcja wykładnicza

Funkcja f(x) = 3^x. Oblicz wartość wyrażenia f(2) – f(0).

MATURA

Zadanie 7: Monotoniczność funkcji

Funkcja f(x) = -2x + 5 jest funkcją:

MATURA

Zadanie 8: Wyróżnik funkcji kwadratowej

Dla funkcji f(x) = 2x² – 3x + 1, oblicz wartość wyróżnika Δ.

MATURA

Zadanie 9: Przekształcenia funkcji

Wykres funkcji g(x) powstał przez przesunięcie wykresu funkcji f(x) = x² o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę. Wzór funkcji g(x) to:

MATURA

Zadanie 10: Zbiór wartości funkcji

Funkcja f(x) = -(x – 1)² + 4. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?

MATURA

Zadanie 11: Równanie funkcji przez punkty

Funkcja liniowa f(x) = ax + b przechodzi przez punkty A(1, 3) i B(3, 7). Wyznacz wzór tej funkcji.

🧮 Kalkulator funkcji liniowej

Wprowadź współczynniki dla funkcji f(x) = ax + b:

Współczynnik a:

Współczynnik b:

Wartość x:

Quizy

Quiz: Wstęp do funkcji

Poprzedni rozdział

Powrót do rozdziału

Następny quiz